Может ли негосударственная организация, например ООО, получить доступ к СМЭВ?

Законные права для обмена сведениями с системой межведомственного электронного взаимодействия перечислены в регламентах (СМЭВ 3, СМЭВ 4).

Если вашего типа организации там нет, попробуйте подать заявку на подключение. Если в Минцифры решат, что у вас есть достаточные основания для взаимодействия с системой, вам предоставят доступ.